ガンマ分布の和 再生性の証明【確率論,和の分布,畳み込み,指数分布】

ガンマ確率変数X1,X2の和Y:=X1+X2が再びガンマ分布に従うこと,すなわちガンマ分布が再生性を持つことを示します.

ガンマ分布の再生性(reproducing property of the gamma distribution)

2つの確率変数X_1, X_2がそれぞれパラメータ(k_1,\theta),(k_2,\theta)のガンマ分布(gamma distribution)

(1)   \begin{equation*} \text{pdf : } \; f_{X_i}(x_i) = \frac{ x_i^{k_i-1} e^{-x_i/\theta} }{ \Gamma(k_i)\; \theta^{k_i} }  \qquad (i = 1,2)  \end{equation*}

に従うとき,2つの確率変数の和Y:= X_1 + X_2はパラメータ(k_1+k_2,\theta)のガンマ分布

(2)   \begin{equation*} \text{pdf : } \; f_Y(y) = \frac{ y^{k_1+k_2-1} e^{-y/\theta} }{ \Gamma(k_1+k_2)\; \theta^{k_1+k_2} } \end{equation*}

に従う.□

 

準備

積分

(3)   \begin{equation*} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \quad = \quad \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)}y^{k_1+k_2-1} \end{equation*}

が成り立つ.実際,(3)式の左辺をz:=x/yのように変数変換すると,x=yzdx=ydzzの積分区間がz\in[0,1)などとなるので,

(4)   \begin{eqnarray*} &&\int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \\ &=& \int_0^1 (yz)^{k_1-1} (y-yz)^{k_2-1} ydz\\ &=& y^{k_1+k_2-1} \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz \end{eqnarray*}

となる.ところで,(4)式の最後にある積分は,ベータ関数であり,これはガンマ関数を用いて

(5)   \begin{equation*}  \int_0^1 z^{k_1-1} (1-z)^{k_2-1} dz \quad = \quad \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)} \end{equation*}

と書くことができる.したがって,これらを合わせると,

(6)   \begin{equation*} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \quad = \quad \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)}y^{k_1+k_2-1} \end{equation*}

を得る.

 

証明

2つの確率変数の和Y=X_1+X_2の確率密度関数f_Yは,もとの確率密度関数f_{X_1}, f_{X_2}の畳み込み(convolution)を計算することで求められる[2つの確率変数の和の分布の求め方は こちら].すなわち

(7)   \begin{equation*} f_Y(y) = \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx  \end{equation*}

を計算すればよい.式(1)を,式(7)に代入すると,

(8)   \begin{eqnarray*} f_Y(y)  &=& \int_0^y f_{X_1}(x)f_{X_2}(y-x)dx \\ &=& \int_0^y \frac{x^{k_1-1} e^{-x/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\theta^{k_1}} \cdot \frac{(y-x)^{k_2-1} e^{-(y-x)/\theta} }{\Gamma(k_2)\; \theta^{k_2}} dx \\ &=& \frac{e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\Gamma(k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \end{eqnarray*}

上式最後の積分は,(3)式と同じ式なので,

(9)   \begin{eqnarray*} f_Y(y)  &=& \frac{e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\Gamma(k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \int_0^y x^{k_1-1} (y-x)^{k_2-1} dx \\ &=& \frac{e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1)\;\Gamma(k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \cdot \frac{\Gamma(k_1)\; \Gamma(k_2)}{\Gamma(k_1+k_2)}y^{k_1+k_2-1} \\ &=& \frac{y^{k_1+k_2-1} \; e^{-y/\theta} }{\Gamma(k_1+k_2)\;\theta^{k_1+k_2}} \end{eqnarray*}

を得る.

 

Remark 1

ガンマ分布Gamma(k,\theta)について,kを整数とし,\theta = 1/\lambdaとすると,これはアーラン分布Erlang(k,\lambda)に帰着する.本稿で述べた再生性は,アーラン分布でも同様に成り立つ.[アーラン分布の再生性の証明は こちら]

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