2階線形常微分方程式の解き方・一般解の求め方：同次(斉次)・定数係数の場合【微分方程式】

定数係数の斉次（同次）２階線形常微分方程式の一般解の求め方を説明します．

標準形の微分方程式に変形して解く方法と，特性方程式および定数変化法を用いて解く方法の，2種類の解法があります．

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斉次（同次）２階線形常微分方程式とは

一般に，定数係数の２階線形常微分方程式(second-order linear ordinary differential equation)とは，次式のような微分方程式である．

(1) $\begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = r(x) \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}$

特に，式(1)において，任意の $x$ に対して $r(x)=0$ であるとき，これを斉次あるいは同次(homogeneous)であるという．

すなわち，定数係数の斉次（同次）２階線形常微分方程式(second order linear ordinary homogeneous differential equation)とは，次式のような微分方程式である．

斉次２階線形常微分方程式

(2) $\begin{equation*} \frac{d^2 y(x)}{dx^2} + p\frac{d y(x)}{dx} + qy(x) = 0 \quad (p, q\in \mathbb{R} \text{ are constants.}) \end{equation*}$

これに対して，式(1)が $r(x)\not=0\;(\exist x \in \rm{supp}(y))$ であるとき，これを非斉次あるいは非同次(non-homogeneous)であるという．

斉次（同次）２階線形常微分方程式の一般解

定数係数の斉次２階線形常微分方程式(2)の一般解(general solutions)は，次式である．

斉次２階線形常微分方程式の一般解

与式(2)に対して，２つの定数 $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$

を，

(3) $\begin{eqnarray*} \lambda_1&:=&\frac12 \left( -p + \sqrt{p^2-4q} \right)\\ \lambda_2&:=&\frac12 \left( -p - \sqrt{p^2-4q} \right) \end{eqnarray*}$

と定義する．このとき，式(2)の一般解は，以下の通りである．

$\lambda_1 \not= \lambda_2$ のとき

(4) $\begin{equation*} y(x) = C_0 e^{\lambda_1 x} + C_1 e^{\lambda_2 x} \end{equation*}$
$\lambda:= \lambda_1 = \lambda_2 = -p/2$ のとき

(5) $\begin{equation*} y(x) = \left( C_0 x + C_1 \right)e^{\lambda x} \end{equation*}$

ただし， $C_0, C_1$ は初期条件によって定まる任意定数である．

与式(2)の解法として，標準形の微分方程式に変形して解く方法と，特性方程式および定数変化法を用いて解く方法の，2種類がある．

また後節で述べる通り，式(3)は，式(1)の特性方程式の解として導くことができる．

斉次（同次）２階線形常微分方程式の一般解の求め方（標準形を用いる方法）

$y':=\frac{d y(x)}{dx}$ ， $y'':=\frac{d^2 y(x)}{dx^2}$ などとする．

２階線形常微分方程式を標準形に変形する

定数係数の斉次２階線形常微分方程式(2)

(6) $\begin{equation*} y''+py'+qy=0 \end{equation*}$

は，

(7) $\begin{equation*} y=f\cdot e^{-px/2} \end{equation*}$

で定義される従属変数の変数変換 $\mathcal{F}:y\mapsto f$ によって，標準形の２階微分方程式

(8) $\begin{equation*} f''+kf=0 \end{equation*}$

に変形できる．ただし， $k\in \mathbb{R}$ は

(9) $\begin{equation*} k:= q - \frac{p^2}{4} \end{equation*}$

である．

なお，標準形への変形に関する詳しい説明は，以下の記事を参照のこと．

2階線形常微分方程式から標準形への変換・導出【微分方程式】

2019年6月6日

標準形の２階微分方程式を解く

標準形の２階微分方程式(8)を解いて，一般解

(10) $\begin{eqnarray*} f(x) =& C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} & \quad(k\not= 0) \\ f(x) =& C_0 x + C_1 & \quad(k=0) \end{eqnarray*}$

を得る．ただし， $i$ は虚数単位， $C_0, C_1$ は初期条件によって定まる任意定数である．

なお，標準形２階微分方程式の解法については，以下の記事を参照のこと．

2階線形常微分方程式の標準形とその一般解の求め方【微分方程式】

2019年6月3日

標準形の一般解から元の2階微分方程式の一般解を求める

さて，従属変数の変数変換(7)に，標準形の一般解(10)を代入すれば，元の2階微分方程式(6)の一般解が以下のように得られる．

(11) $\begin{equation*} y(x) = \left( C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} \right)e^{-px/2} \quad(k\not= 0) \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} y(x) = \left( C_0 x + C_1 \right)e^{-px/2} \quad(k=0) \end{equation*}$

である．式(4)および(5)は，上式(11)および(12)を，それぞれ以下の手順で整理することにより得られる．

（１）k ≠ 0 のとき

$k\not= 0$ のとき，式(11)を， $k$ の定義式(9) および定数 $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ の定義式(3)に注意して変形すると，

(13) $\begin{eqnarray*} y(x) &=& \left( C_0 e^{i\sqrt{k}x} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x} \right)e^{-px/2} \\ &&\\ &=& C_0 e^{i\sqrt{k}x}e^{-px/2} + C_1 e^{-i\sqrt{k}x}e^{-px/2} \\ &&\\ &=& C_0 \exp\left(-\frac{px}{2}+i\sqrt{k}x\right) + C_1 \exp\left(-\frac{px}{2}-i\sqrt{k}x\right) \\ &=& C_0 \exp\left(-\frac{p}{2}+i\sqrt{q - \frac{p^2}{4} }\right)x + C_1 \exp\left(-\frac{p}{2}-i\sqrt{q - \frac{p^2}{4} }\right)x \\ &=& C_0 \exp\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }\right)x + C_1 \exp\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }\right)x \\ &=& C_0 \exp\left[x\cdot \frac{1}{2} \left( -p + \sqrt{p^2-4q} \right)\right] + C_1 \exp\left[x\cdot \frac{1}{2}} \left( -p - \sqrt{p^2-4q} \right)\right] \\ &&\\ &=& C_0 \exp\left[x\cdot \lambda_1 \right] + C_1 \exp\left[x\cdot \lambda_2 \right] \\ &&\\ &=& C_0 e^{\lambda_1 x} + C_1 e^{\lambda_2 x} \end{eqnarray*}$

となり，式(4)を得る．

（２）k = 0 のとき

$k= 0$ のとき，式(9)より

(14) $\begin{eqnarray*} k=& q - \frac{p^2}{4} & = 0 \\ \therefore& p^2-4q &= 0 \end{eqnarray*}$

であることに注意すると，式(3)より，定数 $\lambda_1, \lambda_2$ は等しく，

(15) $\begin{equation*} \lambda := \lambda_1 = \lambda_2 = -\frac{p}{2} \end{equation*}$

となる．したがって，式(12)は

(16) $\begin{eqnarray*} y(x) &=& \left( C_0 x + C_1 \right)e^{-px/2} \\ &&\\ &=& \left( C_0 x + C_1 \right)e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

となり，式(5)を得る．

斉次（同次）２階線形常微分方程式の一般解の求め方（特性方程式を用いる方法）

本節では，定数係数の斉次２階線形常微分方程式について，特性方程式と呼ばれる2次方程式を用いることにより，標準形への変換を経由せずに一般解を求める方法を述べる．

すなわち，基本解となる関数の族を仮定した上で，一般解のパラメータを特性方程式を解くことにより決定する方法である．

$y':=\frac{d y(x)}{dx}$ ， $y'':=\frac{d^2 y(x)}{dx^2}$ などとする．

解となる関数族を仮定する

定数係数の斉次２階線形常微分方程式(2)すなわち

(17) $\begin{equation*} y''+py'+qy=0 \end{equation*}$

の解として

(18) $\begin{equation*} y(x)=Ce^{\lambda x} \end{equation*}$

を仮定した上で，式(17)を満たす $\lambda \in \mathbb{C}$ を決定することを考える．ただし， $C$ は $C \not=0 \;(C \in \mathbb{R})$ なる任意定数とする．

特性方程式によるパラメータの決定

式(18)の1階微分，2階微分が

(19) $\begin{eqnarray*} y'(x)&=&\lambda Ce^{\lambda x} \\ y''(x)&=&\lambda^2 Ce^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

であることに注意して，式(17)に式(18)を代入すると，

(20) $\begin{eqnarray*} &&y''+py'+qy=0 \\ &&\\ &\therefore& \lambda^2 Ce^{\lambda x} +p\cdot \lambda Ce^{\lambda x} +q\cdot Ce^{\lambda x} =0 \\ &&\\ &\therefore& \left( \lambda^2 +p\cdot \lambda +q \right) \cdot Ce^{\lambda x} =0 \end{eqnarray*}$

となる．任意の $x$ に対して

(21) $\begin{equation*} Ce^{\lambda x}\not=0 \end{equation*}$

なので，式(20)および式(21)より，

(22) $\begin{equation*} \lambda^2 +p\cdot \lambda +q =0 \end{equation*}$

を得る．この式(21)を2階微分方程式(17)の特性方程式という．

式(17)を満たす $\lambda \in \mathbb{C}$ を求めるには， $\lambda$ に関する2次方程式である特性方程式(22)を解けばよい．すなわち，

(23) $\begin{equation*} \lambda = \frac12 \left( -p \pm \sqrt{p^2-4q} \right) \end{equation*}$

であるから，第2項の複号に対して， $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ を

(24) $\begin{eqnarray*} \lambda_1&:=&\frac12 \left( -p + \sqrt{p^2-4q} \right)\\ \lambda_2&:=&\frac12 \left( -p - \sqrt{p^2-4q} \right) \end{eqnarray*}$

とおく．これは，本稿冒頭で天下り的に与えた式(3)に他ならない．これらを式(18)に代入して，2つの解

(25) $\begin{equation*} y(x)=C_1 e^{\lambda_1 x} \end{equation*}$

(26) $\begin{equation*} y(x)=C_2 e^{\lambda_2 x} \end{equation*}$

を得る．

定数変化法を用いた一般解の導出

式(25)または式(26)に対して，定数変化法を行い，一般解を求める（なお，以下の議論において，式(25)と式(26)， $\lambda_1$ と $\lambda_2$ ，および $C_1$ と $C_2$ は，入れ替えても一般性を失わない．以下，入れ替え可能であることを念頭におくとする）．

定数変化法は，式(25)の定数 $C_1$ を $x$ の関数とみなして $C_1(x)$ と置き直し，

(27) $\begin{equation*} y(x)=C_1(x) e^{\lambda_1 x} \end{equation*}$

とした上で，これが元の2階微分方程式(17)の解となるように，関数 $C_1(x)$ を決定する方法である．

式(27)の1階微分，2階微分は，それぞれ積の微分法に注意して，

(28) $\begin{eqnarray*} y'&=& \left( C_1(x) e^{\lambda_1 x} \right)'\\ &=&C_1' e^{\lambda_1 x} + C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 x}\\ &=& \left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right) e^{\lambda_1 x} \end{eqnarray*}$

(29) $\begin{eqnarray*} y''&=&\left(C_1' e^{\lambda_1 x} + C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 x}\right)'\\ &=&C_1'' e^{\lambda_1 x} + C_1' \lambda_1 e^{\lambda_1 x} + C_1' \lambda_1 e^{\lambda_1 x} +C_1 \lambda_1^2 e^{\lambda_1 x} \\ &=&C_1'' e^{\lambda_1 x} + 2C_1' \lambda_1 e^{\lambda_1 x} +C_1 \lambda_1^2 e^{\lambda_1 x} \\ &=& \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1 +C_1 \lambda_1^2 \right) e^{\lambda_1 x} \end{eqnarray*}$

である．式(27)～式(29)を式(17)に代入すると，

(30) $\begin{eqnarray*} && \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1 +C_1 \lambda_1^2 \right) e^{\lambda_1 x} + p\left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right) e^{\lambda_1 x} + q C_1 e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \left[ \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1 +C_1 \lambda_1^2 \right) + p\left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right) + q C_1 \right] e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \left[ \left( C_1'' + 2C_1' \lambda_1 +C_1 \lambda_1^2 \right) + p\left( C_1' + C_1 \lambda_1 \right) + q C_1 \right] e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \left[ C_1'' + (2\lambda_1 +p) C_1' + (\lambda_1^2 + p \lambda_1 +q ) C_1 \right] e^{\lambda_1 x} = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& C_1'' + (2\lambda_1 +p) C_1' + (\lambda_1^2 + p \lambda_1 +q ) C_1 = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& C_1'' + (2\lambda_1 +p) C_1' = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& C_1'' + (\lambda_1 - \lambda_2) C_1' = 0 \end{eqnarray*}$

を得る．

ただし，上式(30)の変形では，次のことを用いた．まず，任意の $x,\lambda_1$ に対して

(31) $\begin{equation*} e^{\lambda_1 x} \not= 0 \end{equation*}$

であることから，4行目から5行目への変形が成り立つ．また，5行目の $C_1$ の係数 $\lambda_1^2 + p \lambda_1 +q$ は特性方程式の左辺であって， $\lambda_1$ は特性方程式の解だから，

(32) $\begin{equation*} \lambda_1^2 + p \lambda_1 +q = 0 \end{equation*}$

であり，5行目から6行目への変形が成り立つ．さらに，2次方程式の解と係数の関係

(33) $\begin{eqnarray*} \phi = a,b &&\\ (\phi-a)(\phi-b) &=& 0\\ \phi^2-(a+b)\phi + ab &=& 0 \end{eqnarray*}$

より，特性方程式(22)の解 $\lambda_1,\lambda_2$ と係数 $p,q$ について，

(34) $\begin{eqnarray*} p &=& -\lambda_1-\lambda_2\\ q &=& \lambda_1 \lambda_2 \end{eqnarray*}$

が成り立つので，

(35) $\begin{eqnarray*} 2\lambda_1 + p &=& 2\lambda_1 -\lambda_1-\lambda_2\\ &=& \lambda_1 - \lambda_2 \end{eqnarray*}$

となり，6行目から7行目への変形が成り立つ．

さて，式(30)の最終行の方程式

(36) $\begin{equation*} C_1'' + (\lambda_1 - \lambda_2) C_1' = 0 \end{equation*}$

を解けば， $C_1(x)$ を決定することができる．式(36)は， $C_1$ に関する2階微分方程式だが， $C_1$ の項がないため， $C_1'$ に関する1階微分方程式とみることもできる． $G:=C_1'=dC_1/dx$ と置くことにすると，変数分離形の解法に注意して，

(37) $\begin{eqnarray*} && C_1'' + (\lambda_1 - \lambda_2) C_1' = 0 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \frac{dG}{dx} + (\lambda_1 - \lambda_2) G = 0 \quad(\because \; G:=C_1') \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \frac{dG}{dx} = - (\lambda_1 - \lambda_2) G \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \frac{dG}{G} = (\lambda_2 - \lambda_1) dx \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \int \frac{1}{G} dG = (\lambda_2 - \lambda_1) \int dx + C_3 \quad (C_3 \text{ is a constant.}) \\ &&\\ &\Leftrightarrow& \ln G = (\lambda_2 - \lambda_1) x + C_3 \\ &&\\ &\Leftrightarrow& G = e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x + C_3} \\ &&\\ &\Leftrightarrow& G = e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x }\cdot e^{C_3} \\ &&\\ &\Leftrightarrow& C_1' = C_4 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } \end{eqnarray*}$

となる．ただし， $C_3$ は任意の積分定数，したがって $C_4:=e^{C_3}$ も任意定数である．

式(37)より $C_1'(x)$ が得られたので，これをさらに $x$ で積分することにより $C_1(x)$ が得られる．ただし，積分はパラメータ $L:=\lambda_2 - \lambda_1$ の値によって場合分けする必要がある．

最終的には，得られた $C_1(x)$ を，最初に仮定した解(27)に代入して，斉次2階微分方程式(17)の一般解を得る．

（１）L ≠ 0 のとき

$L:=\lambda_2 - \lambda_1 \not= 0$ のとき， $C_1'(x)$ の積分は

(38) $\begin{eqnarray*} C_1(x) &=& \int C_1'(x) dx \\ &&\\ &=& C_4 \int e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } dx + C_5 \\ &&\\ \therefore \quad C_1(x) &=& \frac{C_4}{\lambda_2 - \lambda_1} e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } + C_5 &&\\ \therefore \quad C_1(x) &=& C_6 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } + C_5 \end{eqnarray*}$

となる．ただし $C_5$ は任意の積分定数であり，また第1項の定数係数を $C_6:=\frac{C_4}{\lambda_2 - \lambda_1}$ とした．これを最初に仮定した解(27)に代入すると，一般解が

(39) $\begin{eqnarray*} y(x) &=& C_1(x) e^{\lambda_1 x} \\ &&\\ &=& \left( C_6 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } + C_5 \right) e^{\lambda_1 x} &&\\ &=& C_5 e^{\lambda_1 x} + C_6 e^{(\lambda_2 - \lambda_1) x } e^{\lambda_1 x} &&\\ \therefore \quad y(x) &=& C_5 e^{\lambda_1 x} + C_6 e^{\lambda_2 x} \end{eqnarray*}$

のように得られる．これは一般解(4)に他ならない．

（２）L = 0 のとき

$L:=\lambda_2 - \lambda_1 = 0$ のとき， $e^0=1$ なので， $C_1'(x)$ の積分は

(40) $\begin{eqnarray*} C_1(x) &=& \int C_1'(x) dx \\ &&\\ &=& C_4 \int 1 dx + C_5 \\ &&\\ \therefore \quad C_1(x) &=& C_4 x + C_5 \\ \end{eqnarray*}$

となる．ただし $C_5$ は任意の積分定数である．また， $\lambda_2 - \lambda_1 = 0$ より $\lambda:=\lambda_1 = \lambda_1$ とおく．これらを最初に仮定した解(27)に代入すると，一般解が

(41) $\begin{equation*} y(x) = \left( C_4 x + C_5 \right) e^{\lambda x} \end{equation*}$

のように得られる．これは一般解(5)に他ならない．

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