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1階常微分方程式の定義と主な形式一覧

1階常微分方程式の主な形式を示します．

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1階常微分方程式の定義

（定義）1階常微分方程式
x は実数値または複素数値を取る変数，y は実数値または複素数値を取る x の関数，すなわち

(1)   \begin{eqnarray*} &&x \in D \subseteq \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} \\ &&y:D \to \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} \end{eqnarray*}

とする．またy は x について1階微分可能で

(2)   \begin{equation*} y':= \frac{dy(x)}{dx} \end{equation*}

とする．このとき，x,y,y' について，恒等的に成り立つ次の関係式

(3)   \begin{equation*} \Psi(x,y,y')=0 \end{equation*}

を，関数 y(x) に関する1階常微分方程式(first-order ordinary differential equations)という．

一般の常微分方程式（ n 階常微分方程式）の定義，一般解と特解の定義，常微分方程式と偏微分方程式の違い などについては，下記の記事を参照のこと．

常微分方程式の定義【微分方程式】

2019年6月27日

正規形1階常微分方程式

1階常微分方程式(3)において，適当な式変形によって1階微分項 y':=\frac{dy(x)}{dx} を分離し，

(4)   \begin{equation*} \frac{dy(x)}{dx} = \psi(x,y) \end{equation*}

のように書ける（y'について解ける）とき，これを 1階常微分方程式の正規形(normal form)という．

一般に，n 階常微分方程式を，適当な式変形によって最高階微分項（n 階微分項：y^{(n)}）とその他の項（n-1 階以下の微分項：y^{(n-1)},...,y',y,x）を分離し，

(5)   \begin{equation*} y^{(n)} = \psi(x,y,y',...,y^{(n-1)})\, , \quad \text{where} \quad y^{(n)}:= \frac{d^ny(x)}{dx^n} \end{equation*}

のように書けるとき，これを n 階常微分方程式の正規形という．

明らかに，n 階常微分方程式の正規形(5)において n=1 としたものが，1階微分方程式の正規形(4)である．

常微分方程式の定義【微分方程式】

2019年6月27日

変数分離形の1階常微分方程式

変数分離(separation of variables)形の1階常微分方程式とは，以下のような形式の微分方程式である．

(6)   \begin{equation*} \frac{dy(x)}{dx}+p(x)\cdot q(y) = 0 \end{equation*}

変数分離形1階常微分方程式は，正規形1階常微分方程式の一種である．

変数分離形の1階常微分方程式：解法と例題・一般解と特殊解【微分方程式】

2016年11月29日

線形の1階常微分方程式

1階線形常微分方程式(first-order linear ordinary differential equation)とは，以下のような形式の微分方程式である．

(7)   \begin{equation*} \frac{dy(x)}{dx}+p(x)\cdot y(x) = r(x) \end{equation*}

特に，式(7)において，任意の x に対して r(x)=0 であるとき，これを斉次あるいは同次(homogeneous)といい，ある x に対して r(x)\not=0 であるとき，これを非斉次あるいは非同次(non-homogeneous)という．

1階線形常微分方程式は，正規形1階常微分方程式の一種である．

完全微分方程式

完全微分方程式(exact differential equation)とは，以下のような形式の微分方程式である．

(8)   \begin{equation*} p(x,y)dx + q(x,y)dy =0 \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} \quad \text{where} \quad \frac{\partial p(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial q(x,y)}{\partial x} \end{equation*}

式(8)は

(10)   \begin{equation*} \frac{dy(x)}{dx}+\frac{q(x,y)}{p(x,y)} = 0 \end{equation*}

と変形できるため，完全微分方程式も正規形1階常微分方程式の一種である．

ベルヌーイ型の1階常微分方程式

ベルヌーイ微分方程式(Bernoulli differential equation)とは，以下のような形式の微分方程式である．

(11)   \begin{equation*} \frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y + q(x)\cdot y^k = 0 \end{equation*}

ベルヌーイ方程式は，k=0 のとき非同次線形常微分方程式に帰着し，k=1 のとき同次線形常微分方程式に帰着する．

ベルヌーイ微分方程式は，正規形1階常微分方程式の一種である．

リカッチ型の1階常微分方程式

リカッチ微分方程式(Riccati differential equation)とは，以下のような形式の微分方程式である．

(12)   \begin{equation*} \frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y + q(x)\cdot y^2 + r(x) = 0 \end{equation*}

リカッチ方程式は，r(x)=0 のとき，k=2 のベルヌーイ方程式に帰着する．

リカッチ方程式は，正規形1階常微分方程式の一種である．

クレロー型の1階常微分方程式

クレローの微分方程式(Clairaut’s differential equation)とは，以下のような形式の微分方程式である．

(13)   \begin{equation*} y(x) = x \frac{dy}{dx} + f \left( \frac{dy}{dx} \right) \end{equation*}

クレローの微分方程式は，一般には \frac{dy}{dx} について解くことができないため，正規形1階常微分方程式ではない．

ダランベール型（あるいはラグランジュ型）の1階常微分方程式

ダランベール微分方程式(d’Alembert differential equation) あるいは ラグランジュ微分方程式(Lagrange differential equation) とは，以下のような形式の微分方程式である．

(14)   \begin{equation*} y(x) = x g\, \left( \frac{dy}{dx} \right) + f \left( \frac{dy}{dx} \right) \end{equation*}

ダランベール微分方程式は，一般には \frac{dy}{dx} について解くことができないため，正規形1階常微分方程式ではない．

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