1階非同次常微分方程式の例題と解法：直流RL回路【微分方程式】

直流RL回路(抵抗，コイル，直流電源を直列につないだ回路)は，1階常微分方程式によってモデル化することができます．微分方程式の例題として，直流RL回路方程式の解法を示します．

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直流RL回路

直流RL回路とは，直流電源，コイル，抵抗の3要素を直列につないだ電気回路であり，1階非同次常微分方程式によって記述できる．

定電圧直流起電力を $V_0$ ，コイルの自己インダクタンスを $L$ ，抵抗を $R$ とし，回路を流れる電流を時刻 $t$ の関数として $I(t)$ と書くことにすると，コイルによる自己誘導起電力は $-L\frac{dI(t)}{dt}$ ，抵抗による電圧降下は $RI(t)$ だから，この直流RL回路は

(1) $\begin{equation*} V_0 -L\frac{dI(t)}{dt} = RI(t) \end{equation*}$

なる等式を満たす．(1)式の左辺は回路の起電力の合計，右辺は回路の電圧降下である．(1)式は電流 $I(t)$ に関する1階非同次常微分方程式であり，解析的に解くことができる．

解法

1階非同次常微分方程式(1)式は，

　1. 式の整理
　2. 同次方程式の一般解を求める
　3. 定数変化法により非同次方程式の一般解を求める
　4. 上記3.で得た一般解に初期条件を与え，特解を求める

を順に行うことで，その解を求めることができる．

1. 式の整理

(1)式を適当に移項して両辺を $L$ で割ることにより，1階非同次常微分方程式

(2) $\begin{equation*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) = \frac{V_0}{L} \end{equation*}$

を得る．これを解いて， $t$ の関数 $I(t)$ を具体的に求めることが，やるべきことである．

2. 同次方程式の一般解を求める

非同次方程式(2)の解を直接求めることはできないので，まず $V_0=0$ とおいた同次方程式

(3) $\begin{equation*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) = 0 \end{equation*}$

をつくり，これを解く．(3)式は変数分離形であることに注意すれば，

(4) $\begin{eqnarray*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) &=& 0 \\ \frac{dI(t)}{dt} &=& -\frac{R}{L}I(t) \\ \frac{dI(t)}{I(t)} &=& -\frac{R}{L}dt \\ \int \frac{dI(t)}{I(t)} &=& -\frac{R}{L}\int dt + C_0 \\ \ln I(t) &=& -\frac{R}{L}t + C_0 \\ \ln I(t) &=& \left(-\frac{R}{L}t + C_0 \right)\cdot \ln e \\ I(t) &=& e^{-\frac{R}{L}t + C_0} \\ I(t) &=& e^{-\frac{R}{L}t}\cdot e^{C_0} \\ I(t) &=& C_1 e^{-\frac{R}{L}t} \end{eqnarray*}$

を得る．これが同次方程式(3)の一般解である．

3. 定数変化法により非同次方程式の一般解を求める

上で求めた同次方程式の一般解

(5) $\begin{equation*} I(t) &=& C_1 e^{-\frac{R}{L}t} \end{equation*}$

に対して，定数変化法を用いる．

定数 $C_1$ を $t$ の関数 $C_1(t)$ によって置き換えた式

(6) $\begin{equation*} I(t) &=& C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} \end{equation*}$

を考え，これを非同次方程式(2)の解とみなして $C_1(t)$ を決定する．すなわち，(6)を非同次方程式(2)に代入して， $C_1(t)$ について解けばよい．(6)に関する積の微分に注意すると，

(7) $\begin{eqnarray*} \frac{dI(t)}{dt} + \frac{R}{L}I(t) &=& \frac{V_0}{L} \\ && \\ \frac{d}{dt}\left( C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} \right) + \frac{R}{L}C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} &=&\frac{V_0}{L} \\ &&\\ \left( \frac{dC_1(t)}{dt} e^{-\frac{R}{L}t} + C_1(t) \frac{d}{dt} e^{-\frac{R}{L}t}\right) + \frac{R}{L}C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} &=& \frac{V_0}{L} \\ &&\\ \frac{dC_1(t)}{dt} \cdot e^{-\frac{R}{L}t} \; - \; \underline{ C_1(t) \cdot \frac{R}{L} e^{-\frac{R}{L}t} } \; + \; \underline{ \frac{R}{L}C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t}} &=& \frac{V_0}{L} \\ &&\\ \frac{dC_1(t)}{dt} e^{-\frac{R}{L}t} &=& \frac{V_0}{L} \\ &&\\ \frac{dC_1(t)}{dt} &=& \frac{V_0}{L} e^{\frac{R}{L}t} \end{eqnarray*}$

を得る．さらに，上式両辺を $t$ で積分すれば，

(8) $\begin{eqnarray*} \int \frac{dC_1(t)}{dt} dt &=& \frac{V_0}{L} \int e^{\frac{R}{L}t} dt + C_2\\ &&\\ C_1(t) &=& \frac{V_0}{L} \frac{L}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C_2 \\ &&\\ C_1(t) &=& \frac{V_0}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C_2 \end{eqnarray*}$

を得る．ただし， $C_2$ は不定な積分定数である．これを(6)式に代入すれば，

(9) $\begin{eqnarray*} I(t) &=& C_1(t) e^{-\frac{R}{L}t} \\ && \\ I(t) &=& \left( \frac{V_0}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C_2 \right) e^{-\frac{R}{L}t}\\ \end{eqnarray*}$