正規分布の計算：期待値(平均),分散,標準偏差 【確率論】
正規分布の確率密度関数から，正規確率変数の期待値(平均) E(X) および 分散 V(X) を計算する方法を示します．期待値は，確率密度関数とその引数の積を積分することにより得られます． 正規分布の期待値と分散 正規分布…
確率論
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確率論
確率論
正規分布の和 再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み】
正規分布の和の分布が再び正規分布となること，すなわち正規分布が再生性を持つことを証明します． 正規分布の再生性(reproductive property of the normal distribution) 2つの独…
微積分
ガウス積分の公式を証明/導出する【微積分】
ガウス積分の公式の導出方法を示します．ガウス積分は，正規分布(ガウス分布)の期待値や分散を計算する際に必要となります． ガウス積分 ガウス積分(Gaussian integral)とは，以下の積分計算のことである． (1…
確率論
確率分布の再生性とは何か【確率論，和の分布】
確率分布の再生性とは，ある確率分布に従う確率変数X1とX2があったとき，その和Y:=X1+X2もまた元の確率分布に従う性質のことです． 確率分布の再生性 を，それぞれ確率分布に従う確率変数であるとする．このの和が従う確率…
確率論
ガンマ分布の和 再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】
ガンマ確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びガンマ分布に従うこと，すなわちガンマ分布が再生性を持つことを示します． ガンマ分布の再生性(reproducing property of the gamma distr…
確率論
アーラン分布の和 再生性の証明【確率論，和の分布，畳み込み，指数分布】
アーラン確率変数X1，X2の和Y:=X1＋X2が再びアーラン分布に従うこと，すなわちアーラン分布が再生性を持つことを示します． アーラン分布の再生性(reproductive property of the Erlang…
微分方程式
1階常微分方程式・変数分離形の解法【微分方程式】
以下の1階微分方程式の形式は変数分離形と呼ばれる. (1) 解法 のとき，与式は (2) のとき， (3) 実際上は，上の積分を実行し，yについて解く． 例題 （１…
高校数学
三角関数で覚えておくべきものは加法定理と単位円だけ？【高校数学】
高校数学では三角関数についての多くの「公式」が出てくるが，以下に挙げるものを覚えておけば実用上困ることはない．他のものは，必要となった際にそのづど導けばよく，語呂合わせなどで無理に暗記する必要はない．「暗記」は最小限に留…
微積分
微分と積分の公式【微積分，高校数学】
微分と積分の公式 以下で (1) とする．または任意の定数とする． １．覚えておくべきもの 冪(べき)関数の微分： (2) 三角関数(sin, cos)の微分： (3) (4) …
確率論
確率変数の和の分布を計算する【確率論，畳み込み】
確率変数X1，X2が従う確率密度関数f1，f2が与えられたとき，その和Y:=X1+X2が従う確率密度関数fYを計算する方法を示します． 確率変数の和の分布 を，結合確率密度関数(joint probability den…